抜け毛対策

はじめまして。アドバイスを頂きたくここに質問させて頂きました。
昨年、私（飼い主）が出産をし、ただ今、１０ヶ月の娘がおりますが、病院で検査した結果、軽度の動物フケアレルギーであることが、判明しました。
猫を手放す必要はないですよ、毎日、キレイに掃除すれば・・・と、お医者様には言われましたが、夜、床を拭いても、翌朝、また猫の毛・毛・毛。
ブラッシングがままならず、困っております。
スコティッシュホールドは、短毛ですが、とても毛が密集して生えており、
アンダーコートをいくら、ブラッシングしても、また毛が抜ける始末。
シャンプーしても、大して変わらないどころか、シャンプー後今の床に沢山毛が抜けてしまい、困りました。
それで、ふと、思ったのですが、夏場の毛が抜ける時期だけ、猫の毛を俗に言う、『サマーカット』さながら、剃ってしまう事はしてもいいのでしょうか？
もし、してる事例がある場合、どこでやっていただけるのでしょうか？
ペットショップなのか、動物病院なのか・・・
こんな質問で、大変恐縮なのですが、５年もの間、一緒に暮らした猫を手放す気にもなれず、ただ、小さな娘の咳を聞くたびに、何とかせねばと気ばかりあせり、未だ、何も出来ないままです。
どうぞ、良いアドバイスをお願いします。