どこまで支払えばよいのでしょう

先日、えるくとドッグランで遊んでいたときのことです。
私とえるくは、ディスクで遊んだりアジリティをしたり楽しんでいました。
ほかに一組、小型犬が遊んでいました（ウチのイヌは中型犬です）。
その小型犬が、遊んでいるえるくに向かって（何度か）吠えかけてきました。
しばらくは相手をしなかったのですが、えるくが追ってるディスクを一緒に追いかけたり、アジリティをしているえるくに吠えかけたりしてきて、
えるくが小型犬を追いかけ始めてしまいました。
追いかけっこで遊べればよかったのですが
すぐに吠えあいになってしまい、えるくの歯が小型犬にあたってキズつけてしまいました。

その後、病院での「消毒、投薬で治療費が１万円かかった」ということでお支払いしました。
が、その小型犬は短毛の犬種で「キズのところには毛がはえてこないかもしれない」と病院で言われたとのこと。
その場合は、皮膚を縫い合わせてキズ跡を隠すような「整形手術」をするとのこと。
「手術をするかどうかはキズの回復具合によってだが、もしそうなった場合はまた連絡する」と言われました。

確かにえるくはキズつけてしまったのですが、
きっかけを作ったのは相手の方のような気がします。
手術をすることになった場合、費用はすべてウチがもたなくてはならないのでしょうか。