熱が一ヶ月続いています

初めまして。お忙しいところ申し訳ありませんがとても心配なのでアドバイスいただければ幸いです。よろしくお願いします。

２月１日：１日中寝たままで体調が悪そうだったので病院に連れていったところ40度の高熱がありました。
解熱注射を打ってもらいその時は熱は下がったのですが、また数日後には元気がなくなり、再び通院したところ39.3度ありました。
その後も、解熱注射を打ってもらっては、数日間は元気だけど再び元気がなくり、病院へ行くと熱がある…の繰り返しで、約一ヶ月になります。

食事も食べ、水も自分で飲みます。
便・尿も正常です。
普段は家の中を走り回ったりおもちゃで遊んだりしますが、元気のない時は１日中布団の中から出てきません。

生後４ヶ月くらいの頃に空地に捨てられているのを拾って育ててきました。ワクチン未接種です。

先日、FeLV・FIVの検査をしましたが、陰性でした。
血液検査もしましたが、白血球等全て正常とのことで、先生も原因がわからないとおっしゃいます。

今週は自宅で検温しましたが、だいたい午前中は38度、午後から熱が上がり夕方には38.5度～39.5度になります。

発熱以外に症状は一切ありません。
咳・鼻水・下痢・口内炎・吐くこともありません。

このまま今の治療法でよいか悩んでいます。
病院を変えて、また検査を繰り返すのも可愛そうに思ったりもして…。
発熱が一ヶ月続く病気ってあるのでしょうか？
長文で申し訳ありません。どうぞよろしくお願いします。