猫の毛が固まってしまったのですが・・・

肥満気味のネコ（mix、♂）ですが、1ヶ月くらい前から、
背中とお尻あたりの毛に何かベトベトしたようなものが付いてしまった
感じで、その部分の毛が一塊に固まってしまいました。
お湯で濡らしたタオルで拭いてもぜんぜん取れなくて、毛の根元から
何かで固まってしまっています。
家猫なので、家の中には付着するものは無いはずなのですが、
思い当たるものは、ベランダにひいたスノコ（木板）の塗料が、
暑さや雨で溶けて毛についてしまったのか？それくらいです。
その猫は太っているので、自分で舐めれない部分が固まっているようです。
蚤はいませんが、毛が大量に抜けフケも出ます。
このような場合、
①何かが付いたわけではなく、病気の可能性はあるのでしょうか？
②この固まってしまった毛を治すには、どうしたらよいでしょうか？
（シャンプーは、とても嫌がり全くできないです。）
毛がゴワゴワしてて汚い感じで、どうしたら良いのか
とても困っています。ぜひご回答をよろしくお願い致します。