喘息のような咳

はじめまして。どのようなことでもアドバイスをいただけたら、と思い質問させていただきました。
オス猫（雑種短毛）なのですが、近所に住むのらねこなのです。
たぶん、４、５歳くらいだと思います。
外で私を見つけると飛んでくるくらいとてもなついており、朝、晩とドライフードを40～50gずつと水をあげています。ペット可のアパートですが、室内には入れていません。彼も入りたくないようです。
先日、吐き気のような咳（ゼーッゼーッ、ヒーッヒーッ）を数回して、数分後には何もなかったように元気になりました。変なものでも食べたのかと思い、あまり気にしていませんでしたが、今朝、近所の女の子が「もう咳しなくなったの？昨日はしてたけど」と言っていました。
じゃれたりして興奮した後も、息が荒くフーッフーッとなります。
なにか病気かと思いますが、私も持病があり、金銭的な面でも、きちんと飼うことができません。（室内と外と行き来するでしょうから、ダニ、ノミのケアや、もし一生治療が必要な病気の場合。）
ごはんを与えている時点で、無責任かもしれません。（他のノラねこにごはんは与えていません）
ただ、今後、もし症状が酷くなってしまった場合を考えると私もどうして良いのかわからず、無理をして部屋で飼ったほうが良いのかととても悩んでいます。質問がはっきりせずすみません。なにか少しでもアドバイスがあればお願いいたします。