傷口の衛生関係の質問

2日ほど前、オス猫(去勢済み)の肛門下部の右あたりにキズのようなものを発見しました。(その時点では、数ミリ肉が見えてるかなという状態。)その翌日病院に行き診察をしてもらったのですが、軽くコットンで患部を消毒した後、抗生剤と痛み止めの注射、服用薬で抗生剤を一週間分いただき、次は一週間後に来てくださいねということでした。

その時点では肉が1cm以上見え、かなり痛々しい様子だったので、正直、患部はその一回の消毒だけでいいの？
と、思ってしまいました。

現在、猫は自宅で療養中ですが、眠る時のクッションに血の跡がスタンプのように残されていたり、座りかた次第で傷とクッションが触れるなと思っています。
これじゃあ傷口が汚れて治りが遅くなるのではないかと心配です。

上記の病院の対応はいたって普通なのか、そして、排泄物が患部に着いてしまった場合の対応についてお聞きしたいです。
よろしくお願いいたします。