２ヶ月間続いている咳

５ヶ月になりましたチワワについて質問いたします。アメリカ、テキサスに住んでいます。

３ヶ月のときにうちに来まして、それ以来ずっと咳をしています。
うちに来たての頃は、１日１回程度でしたが、今では数え切れません。はじめ扁桃腺炎と診断され抗生剤とアレルギーの薬をを１ヶ月続けました。ところが全くよくならず、抗生剤は１ヶ月以上続けるのはよくないので、やめ、アレルギーかも知れないからと言うことで、アレルギーの薬のみになりました。それでも全くよくなりません。その後、アレルギーの薬も飲んでも効かないからと言うことで、やめました。両方の薬をやめても症状に改善は見られません。
結局、ドクターはアレルギーと診断しましたが、アレルギーの検査や胸のレントゲンを受けたわけではありません。

咳ですが２種類あります。普段は大人の男性のような、「オホッ、オホッ」っと重いこもった咳で食事をしていても出ます。もう一種類は、走ったり、遊んでいたり、興奮したときに出るのですが、こちらは連続的に「フガフガ」と言うように鼻に抜けるような音がします。どちらも最後はタンをきりたいかのように「カッ」と音をたてます。

アレルギーであれば、人間のように血液で何が原因か調べることは出来ますか？（食べ物とか埃とか草木とか・・・）
また、アレルギーで無いとすれば、どのような病気が考えられますか？またどのような検査を受ければ、見つけることが出来ますでしょうか？

ご解答をよろしくお願いいたします。