背中にできた複数の脱毛

3歳になるビーグルがいるのですが、最近背中を中心に１㎝ほどの脱毛がいくつかみられます。
通常体形ではなく、肥満型で毛の手入れなどは自分で（犬が）できていません。皮膚の状態は人間でいう大きなフケのような硬くなった皮膚が浮き出している状態で、触ると痛いのか痒いのか分かりませんが、触られるのを嫌がります。
狂犬病の注射を打ちに今月末辺りに嵐閧ヘしているのですが、緊急性がなければその時に相談と 考えています。ただ、多頭飼いの為 伝染病なども考えられるのか不安です。他の犬には同じ症状は見られません。先日トリミングに行ったのですが、その時は何も言われませんでした（すでに脱毛したところが2箇所ぐらいあったのですが）。早急に病院へ行ったほうが良いのでしょうか？