ワクチンについて

いつも参考にさせて頂いております。
この度愛護団体より、新しい家族を迎えました。（推定カニンヘンダックスとパピヨンのMIX、推定10ヶ月♂）8月に前の飼い主が愛護センターに持ち込み、その日に３種ワクチンを受けています。その後3週間後愛護団体が保護し、預かり親さんの所で飼われていました。保護後、検便をしたところコクシジウムが発見され、投薬1週間後の検査で、－が確認されました。それ以外は、血液検査などにも異常はなかったそうです。
我が家に来て１週間経ち落ち着いたので、掛かり付けの病院に行きました。体重、体温を測定、心音を聞いた以外は特に検査はしませんでした。（血液検査の結果は持参）相談の結果、狂犬病よりもワクチンを先に打つ事になり、５種を打ちました。免疫付ける為に来月もう1度打つ事になっています。保護される前（生後半年間）のワクチン接種が不明の為とのことですが、３種→５種→５種で、2回目以降の２種はもし、半年間で打っていないとすると免疫はつかないことになるのでしょうか？どういう接種の仕方が好ましいのか、今ひとつわからず、悩んでいます。掛かり付け医の通りで問題ないでしょうか？ご指導頂ければ幸いです。また他に検査した方がいいこと等はありましたら、合わせてお願い致します。