皮膚の脂？

７年前に里親探しの機会にチンチラとして譲っていただいた、ミックス猫７歳の雄猫についてご相談があります。もともと飼っていたチンチラシルバーとは毛質も違い、長毛ではありますが、猫っ毛で密度がありとても柔らかい毛質です。脇の下や、一番ひどいのはしっぽで、他の毛は真っ白なのに、皮膚が茶色で毛も茶色に脂っぽいべっとりとした感じで、皮膚をよく見ると砂でも付いているかのようになっています。もちろん外にも出さないので、砂などではありません。あごの下も同じようになっていたこともありました。触ると嫌がるので、ブラッシングもお風呂もあまりできませんし、洗ったところで全くとれません。脂漏性の何かか、アレルギーの病気かと思ったのですが、もう１匹のチンチラはそのようなことはなく、移るものでもないようなのでそのままでいました。やはり診察をしたほうがよいでしょうか？よろしくお願い致します。