触れない保護猫、病院へ連れて行くための鎮静薬について

ひと慣れしていない保護猫(1歳半くらいの元野良猫)を迎えてまもなく2ヶ月が経ちます。
ひとがいても寛いでいることも増えましたが、基本的にひとがいない部屋に退避してひとりで寝て過ごしています。
撫でようとすると拒否パンチまたは逃げてしまい触れられません。ブラシも一瞬触れるだけで逃げてしまいます。
初日〜数日は緊張し過ぎて？ケージ内で固まっていて撫でることができていたのですが、フリーになり慣れてきて自分を出せるようになったのか、まったく触らせてくれなくなりました。
ですので抱っこはもちろん、バスタオルや洗濯ネットも逃げてしまうので、まだ一度も病院へ連れて行けていません。幸い下痢することもなく、3食食べてくれるので体調は安定していると思います。
病院にかかり、健康診断やワクチン、爪切り、できればブラッシングやシャンプーなどをお願いしたいのですが、単身住まいのため家族で協力して、ということもできず、キャリーに入れるようになる気がしません。
施設からお迎えした初日も、スタッフの方が部屋中追いかけ回して無理やり洗濯ネットに押し込みきつく縛った状態で引き渡され、それもトラウマになっているのではと思っています。

獣医師さんのブログで、鎮静薬を服用させて落ち着かせてから病院に連れて行くケースもあると知りました。
大捕物でストレスを与えるくらいなら、ひと月に一度の鎮静薬に頼りたいと考えています。
わたしのようなケースでも鎮静薬を処方してもらうことはできるのでしょうか。