ねずみを食べる猫

はじめまして。雑種のネコを６年以上室内と室外で飼っていますが、最近よくネズミをとってきて食べています。食事も毎回　きちんと与えているのにバイ菌だらけのネズミを外でも食べているのを考えただけできもちわるく、一緒にすんでいるので病気がうつりそうで心配でたまりません。食べないようにとりあげたいのですがあっという間においしそうに食べているのです。
このまま飼っていたらネズミの菌が人間にも伝染し、原因不明の病気にかかるのかと思い　飼い猫を抱いてあげることもできません。シャンプーしてもまた外出するのできりがないのです。このまま一緒に生活を続けても支障はないのでしょうか？病気もしたことのない元気な雌猫です。どうか先生よいアドバイスお願いします。