食が細く、鼻に斑点

はじめまして。こんにちは。室内で飼っている10歳ほどの雑種の猫について質問です。

生まれてすぐ家で引き取って、もともと体が小さく、太らなくて１０歳ちょっとの今でも体重が２キロほどしかありません。
普段は家中を走り回ったり高い所にのぼったりしているし、良く寝ているので元気なようには見えるのですが、母親のように慕っていた猫が去年の夏に亡くなり、ショックと歳のせいか段々食が細くなっている気もします。
４月始めほど前から鼻に茶色っぽい斑点ができ、最初は２つだったのが今は８個ほどとかなり増えてきて心配しています。
先月３～５回ほど嘔吐もありましたが、食べすぎかと思い病院も行ってません。

・食が細くなり、鼻に斑点がたくさんできるのは何か悪い病気なのでしょうか？
・あと老猫は肝臓（？）が悪くなりやすいので検査をしといたほうがいいとういのは本当ですか？